Penggunaan Galat untuk Menentukan Interval Keakuratan

Penggunaan Galat untuk Menentukan Interval Keakuratan

Oleh:

Ayu Susanti

STKIP PGRI SIDOARJO

Abstrak

Kaya ilmiah ini menjabarkan tentang fungsi atau kegunaan galat untuk mencari nilai interval keakuratan. Didalam karya ilmiah ini terdapat beberapa pembahasan tentang bagaimana cara mencari interval keakuratan. Beberapa cara untukmencari interval keakuratan dengan cara antara lain angka signifikan dan galat maksimum, galat mutlak dan galat relatif, sifat-sifat galat, dan sumber-sumber galat. Dari cara-cara tersebut dapat ditentukan nilai dari bilangan-bilangan yang tidak eksak.

Pendahuluan

Dalam karya ilmiah ini saya akan membahans tentang  “penggunaan galat untuk mentukan interval keakuratan”. Tidak dapat disangkal bahwa sangat sedikit permasalahan dalam matematika yang dapat diselesaikan secara analitik. Dalam hal ini, kita membutuhkan teknik-teknik numerik yang erat kaitannya dengan komputer dalam mendapatkan penyelesaian. Tetapi teknik-teknik numerik merupakan suatu rekayasa untuk mendapat hasil pendekatan dan perhitungan dengan menggunakan komputer  memberikan hasil yang tidak eksak. Akibatnya galat dari perhitungan tidak dapat dihindari. Maka dari itu disini kita akan menggunakan galat untuk menentukan interval keakuratan yang ditimbulkan dari hasil perhitungan yang tidak eksak.

Angka signifikan dan galat maksimum

Kita telah mengenal bilangan-bilangan eksak, misalkan 1,2,3,..,⅓, ...,-9,-10,..., namun dalam hal ini kita lebih tertarik pada bilangan yang merupakan hasil pendekatan, misalnya: 1,414138 ,2,2221 , 3,14 ,... . Dalam hal ini banyaknya “angka signifikan”(angka-angka yang menyatakan suatu bilangan) dalam suatu bilangan menentukan tngkat ketelitian dari suatu bilangan.

Contoh: 

1.   3,14         mempunyai 3 angka signifikan. 
2.   0,31521  mempunyai 5 angka signifikan. 
3.   0,031       mempunyai 2 angka signifikan.

Penetapan banyaknya angka signifikan pada suatu bilangan sangat bergantung pada tujuan pemakaian dari bilangan tersebut dan berapa tempat desimal tingkat keteltian yang kita inginkan. Jadi tidak ada keeksakan dalam penentuan banyaknya angka signifikaanyang dipakai.Untuk keperluan praktis kita mungkin hanya memerlukan beberapa tempat desimal saja untuk ketelitian suatu bilangan. Dengan demikian sangat mungkin kita perluuntk melakukan “pembulatan” atau “pemotongan” pada banyaknya angka signifikan.

Contoh: 

1.   3,14        mempunyai ketelitiaan hingga 2 tempat desimal. 
2.   0,31521  mempunyai ketelitian hingga 5 tempat desimal. 
3.   0,031      mempunyai ketelitian hingga 3 tempat desimal.

Andaikan diberikan suatu bilangan x dengan pembulatan sampai m tempat desimal, danbilangan x tersebut akan dibulatkan sampai n tempat desimal (n<m) maka aturan pembulatannyaadalah : 

1.  Tambahkan  pada bilanganx 
2.  Hilangkansemuaangka yang terletak di sebelah kanan tempa tdesimal yang ke-n.

Dan andaikan x adalah suatu bilangan dengan pembulatan sampai n tempat desimal maka keakuratan bilangan x dinyatakan sebagai , artinya nilai x tidak lebih dari dan tidak kurang dari . disebut batas atas bilangan x dan disebut batas bawah dari bilangan x, sedang-kan disebut jari-jari interval keakuratan bilangan x. Dari aturan pembulatan di atas kita dapat mengetahui galat maksimum, batas atas dan batas bawah dari suatu bilangan.             

Contoh: 

1.  3,14      mempunyai galat maksimum 0,005
2. 0,3150  mempunyai galat maksimum 0,00005  
3. Tentukan jari-jari interval keakuratan , batas atas, dan batas bawah bilangan 7,423!

Jawab: jari-jari interval keakuratan 0,0005, batas atas 7,4235, batas bawah 7,4225

Galat Mutlak dan Galat Relatif

Menganalisis galat sangatlah penting di dalam perhitungan yang menggunakan metode numerik. Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya.

Misalkan adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati x, maka selisih 

Sebagai contoh jika = 10,5 adalah nilai hampiran dari x = 10,45, maka galatnya  e adalah  = -0,01. Jika tanda galat (positif atau negatif) tidak dipertimbangkan, maka galat mutlak dapat didefinisikan sebagai 

 

Sayangnya, ukuran galat  kurang bermakna sebab ia tidak menceritakan seberapa besar galat itu dibandingkan dengan nialai sejatinya. Sebagai contoh seorang anak melaporkan panjang kawat 99 cm, padahal panjang sebenarnya 100 cm. Galatnya adalah 1 cm. Anak yang lain melaporkan panjang pensil 9 cm, padahal panjang sebenarnya 10 cm. Galatnya adalah 1 cm. Keduanya mempunyai galat 1 cm, namun galat pada pensil lebih berarti daripada galat pada panjang kawat. Jika tidak ada informasi panjang sesungguhnya, kita mungkin menganggap kedua galat tersebut sama saja. Untuk mengatasi interpretasi nilai galat, maka galat harus dinormalkan terhadap nilai sejatinya. Gagasan ini melahirkan apa yang dinamakan galat relatif.

Galat relatif didefinisikan sebagai

Sifat-Sifat Galat

Jika dan masing-masing adalah nilai pendekatan dari bilangan-bilangan yang nilai eksaknya adalah x dan y dengan galat mutlak masing-masing adalah e₁ dan e₂ maka berlaku sifat-sifatberikut:

1.                    3. 

2.                    4. 

Contoh:

Jika 6,27 dan 14,38 adalah nilai pendekatan dari suatu bilangan yang nilai eksaknya adalah x dan y maka hitunglah galat maksimum yang mungkin terjadi pada pendekatan untuk nilai eksak di bawah ini kemudian tentukan batas-batas keakuratannya.

a.       (0,3)x+y                                              b.    x-(0,5)y

Jawab:

     

Jadi galat maksimum yang mungkin terjadi pada pendekatan untuk nilai eksak (0,3)x+y adalah 0,0055 sedangkan batas keakuratannya adalah:
      

a.          
            

Jadi galat maksimum yang mungkin terjadi pada pendekatan untuk nilai eksak x-(0,5)y adalah 0,01 sedangkan batas keakuratannya adalah:
          

Sumber Galat

Secara umum terdapat dua sumber utama galat penyebabgalat dalam perhitungan numerik:

1.      Galat pemotongan (truncation error) adalah galat yang ditimbulkan akibat tidak dilakukannya      hitungan sesuai dengan prosedur matematika yang benar. Sebagai contoh menghampiri fungsi kedalam deret Taylor sampai orde tertentu.

2.      Galat pembulatan (round-off error) adalah galat yang ditimbulkan akibat tidak diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan.

Selain kedua galat ini, masih ada sumber galat lain, antara lain:

a.       Galat eksperimen, yaitu galat yang timbul dari data yang diberikan, misalnya karena kesalahan pengukuran, ketidaktelitian alat ukur, dan sebagainya.

b.      Galat pemprograman. Galat yang terdapat di dalam program sering dinamakan dengan kutu (bug), dan proses penghilangan galat ini dinamakan penirkutuan (debugging).

Contoh:

Hitunglah besar galat yang ditimbulkan akibat bilangan 3,141592653 dibulatkan hingga empat angka signifikan, dan hingga enam angka signifikan

Jawab:

a.       Hasil pembulatan bilangan 3,141592653 hingga empat angka signifikan adalah 3,142 sehingga    galat yang ditimbulkan sebesar 0.000407347

b.      Hasil pembulatan bilangan 3,141592653 hingga enam angka signifikan adalah 3,14259 sehingga galat yang ditimbulkan sebesar 0.000002653

Penutup

Dari teknik-teknik atau cara yang sudah dijabarkan diatas, galat bisa muncul karena adanya pemotongan dan pembulatan terhadap bilangan-bilangan tidak eksak untuk menentukan interval keakuratan, interval keakuratan ini berguna untuk memperkecil kesalahan-kesalahan yang ada pada perhitungan matematika.

Daftar pustaka

Fuad, Jusuf. 1997. Metode Numerik. Surabaya. University Press Ikip Surabaya.

Munir, Rnaldi. 2010. Metode Numerik. Bandung. Informatika.